[고등수학(상)] 함수 항등식 두 가지 문제

 

2018년 영동고 1학년 1학기 중간고사 문제와 2019년 경기고 1학년 1학기 중간고사 문제는

언뜻 보기에는 똑같아 보이지만 현격한 차이가 있습니다.

 

영동고 문제는 f(x)가 다항식이므로 f(x)=ax^n+... 로 두고 항등식에 대입하면 f(x)는 3차이고 3차의 계수는 1이 나옵니다.

계수비교법을 쓰든 수치대입법을 쓰든 f(x)를 구하기 위한 계산은 많이 복잡하지만 아이디어가 어렵지는 않습니다.

따라서 영동고 문제는 결국 계산 문제입니다.

 

반면에 경기고 문제는 f(x)가 다항식이지만 영동고 문제 풀 때처럼 f(x) = ax^n+bx^n-1+ ...으로 두고 대입하더라도 몇 차식인지 특정하기 어렵습니다.

왜냐하면 경기고 문제는 {f(x+2)-f(x+1)}-{f(x+1) - f(x)} = x+1의 형태인데

대입해서 풀어보면 최소한 계수 a는 없어져서 최소한 2차 이상인 것만 확실하기 때문입니다.

따라서 경기고 문제는 영동고 문제와는 달리 f(x+1)-f(x) = g(x)로 놓고 g(x)가 이차 다항식이라는 사실을 알아낸 후

다시 f(x)가 삼차다항식이라는 사실을 유도해야 합니다.

 

그렇다면 그 차이는 어디에 있을까요?

 

일단 영동고 문제의 식은 f(x-1) +4 f(x) - 3 f(x+1) = 2x^3 - 12x^2 - 10x +6 입니다.  

반면 경기고 문제의 식은 f(x+2) - 2f(x+1) +f(x) = x+1 의 형태인데 f(x+2)와 f(x+1)과 f(x)의 계수의 합이 0이 됩니다. 

그래서 계차수열의 식 {f(x+2)-f(x+1)}-{f(x+1) - f(x)} = x+1로 정리될 수 있습니다.

 

이 식은 지금의 교과 과정에는 공식적으로 빠져 있지만  

pA(n+2) + qA(n+1) + rA(n) = 0 이라는 수열 점화식에서 p+q+r=0일 때

계차수열 형태로 정리된다는 사실을 이전 교과 과정에서는 중요하게 다룬 바 있습니다.

 

정리하면 영동고 문제는 f(x-1)과 f(x)와 f(x-1)의 계수의 합은 1 +4 -3 = 2 여서

0이 아니기 때문에 차수가 3차임을 바로 알 수 있었지만

경기고 문제는 계차식 형태로 정리하는 과정을 더 거쳐야 3차임을 알 수 있다는 것이 핵심입니다.

 

문제와 풀이는 다음과 같습니다.