이 문제들은 고2 문제들이기도 하고 수능 문제이기도 합니다.
요즘 강남구만이 아니라 진학 실적이 좋은 대부분의 고등학교에서 수능 문제나 EBS 문제를 소재로 변형하여 학교 내신 문제를 출제하는 경우가 매우 많아졌습니다. 따라서 내신 상위권을 유지하려면 수능 문제 수준까지 풀어보는 것이 매우 중요해졌습니다. 21번이나 30번처럼 호흡이 긴 문제는 내신에 내기 어렵다보니 그 외 번호들을 차지하는 문제를 변형해서 내는 경우가 매우 많습니다. 다소 무리하게 문제를 내기도 하고 평가원의 좋은 아이디어를 잘라먹고 지저분한 계산 문제로 내는 경우도 많습니다. 수능 문제를 푸는 안목과 빠르고 정확한 계산 실력 이 두 가지를 갖춰야 내신 상위권을 유지할 수 있겠지요.
이 문제들도 시작은 평가원이었습니다. 특정 점들에서 불연속인 함수들이더라도, 서로 곱하거나 더하거나 합성하거나 평행이동한다면 그렇게 만들어진 새로운 함수들은 연속일 수 있습니다. 특정 점에서 연속인 함수들은 서로 더하거나 곱하거나 빼거나 나누어도 연속이지만, 특정 점에서 불연속인 함수들은 그러한 사칙연산을 통해 반드시 불연속인 것은 아니니까요. 이런 식으로 평가원은 특정 점들에서 연속이 될 조건을 묻습니다. 그리고 모든 실수인 x점에서 연속이 될 조건을 묻기도 합니다. 평가원은 이런 식의 문제들을 꾸준히 내고 있습니다.
마지막 문제는 모든 실수에서 연속이 될 조건을 묻습니다. 평가원 문제가 내신 문제나 사설 모의에서 어떻게 변형되는지를 알 수 있을 것입니다. 모든 실수인 x값에서 연속이 되려면 한 점은 연속으로 만드는 조작이 다른 점을 불연속으로 만드는 조작이 될 수도 있습니다. 고려해야 할 부분이 더 생기는 거죠. 특히 마지막 문제는 x가 아니라 2x여서 함수 자체가 2배로 좁아집니다. 그런 경우 불연속일 가능성이 되는 점을 고려하는 것이 중요하겠지요. 결국 a=0인 경우만 성립했다는 것 명심하세요. 내신 문제는 마지막 사례처럼 나오는 경우가 많았습니다.
다음 문제와 풀이는 우리 학원 김대호 선생님이 작성하신 것입니다.
